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    中考數學中的存在性問題
    副標題:中考數學中的存在性問題
    作者:陳建華 發表時間:2014/3/26 點擊數:3798

    一、存在性問題的重要性

    l      有關數據列舉

    Ø      08      23題(3)——直角三角形——3

    Ø      09      21題——等腰梯形、直角梯形——4  

               23­3)——等腰三角形——3

    Ø      10      19題——直角梯形、平行四邊形、菱形——9

    23題——平行四邊形——4    

    Ø      11      22題——菱形存在性、直角三角形——8

    23題——正方形存在性——3

    Ø      12      15題——直角三角形存在性——3

               23題(3)——點的存在性(面積之比)——3

    Ø      13      15題——直角三角形存在性——3

               19題——菱形、直角梯形——4

    23題(2)——平行四邊形——6

    23題(3)——角度——2

    l      解決存在性問題的重要性

    在近年來河南中考數學考試中,存在性問題所占分值大概為6——12分;填空最后一題?疾橹苯侨切未嬖谛;小證明往往考查特殊四邊形的存在性,如平行四邊形、菱形、直角梯形等;壓軸題中至少有1問會考查存在性問題,如角度的存在性,平行四邊形的存在性等。

    2013年河南中考數學試卷為例,

    Ø      填空最后1題(15題)結合折疊考查直角三角形存在性

    Ø      小證明(19題)在動點背景下考查菱形存在性和直角梯形存在性

    Ø      壓軸題(23題)第2小問考查平行四邊形存在性,第3小問考查角度的存在性。

    存在性問題往往背景復雜,涉及知識廣泛,是中考數學中的一類常見的綜合性問題。這類問題不僅僅考查學生應用知識和技能的能力,還對學生在不同情境中提取信息、分析問題、設計方案的能力有較高的要求。不僅能夠較為準確的評測出學生的數學素養和思維能力,而且也是鞏固知識間聯系、訓練學生思維的優秀載體。

    存在性問題是探討是否存在點,使其滿足某種特殊關系或圖形狀態的問題。常以函數為背景,結合動點、動線,考查分類、畫圖、建等式計算.大致可分為兩類:

    ·圖形狀態:平行、垂直、角度定值、線段倍分、面積成比例等;等腰三角形、直角三角形;平行四邊形、菱形、梯形等。

    ·圖形間關系:全等三角形、相似三角形等。

    存在性問題——等腰三角形

    ①兩定一動(兩圓一線)

    ②夾角固定、兩點動(借助三線合一找相似)

    ③三動點(分析不變特征,表達邊或角)

    存在性問題——直角三角形

    從直角入手,確定分類.常利用勾股定理逆定理、三等角模型、 解決問題.

    存在性問題——等腰直角三角形

    從直角入手,確定分類.常構造弦圖模型解決問題.

    存在性問題——平行四邊形

    ①三定一動

    ②兩定兩動

    以定線段作邊或對角線,確定分類;常借助對應邊相等、坐標間關系及中點坐標公式建等式求解.

    ③三動點或四動點

    往往有不變特征,如兩邊始終平行,滿足相等即可.

    存在性問題——菱形

    通常轉化為等腰三角形存在性處理,亦可借助菱形性質解決.

    存在性問題——梯形

    ①等腰梯形存在性通常直接表達兩腰長,利用兩腰相等建等式;

    兩腰不易表達,借助對稱性和中點坐標公式聯立求解.

    ②直角梯形存在性關鍵是利用好直角.

    存在性問題——相似三角形

    ①目標三角形確定:先研究目標三角形的邊角關系,根據對應關系分類,借助比例關系建等式.

    ②目標三角形不確定:從角度、對應關系入手,結合不變特征分析,根據對應關系分類,借助比例關系建等式.

    存在性問題——全等三角形

    ①目標三角形確定:先研究目標三角形的邊角關系,根據對應關系分類,借助邊、角相等建等式.

    ②目標三角形不確定:從角度、對應關系入手,結合不變特征分析,根據對應關系分類,借助邊、角相等建等式.

    存在性問題——角度

    和角度相關的存在性問題通常要放在直角三角形中處理,一般過定點構造直角三角形,借助三等角模型建等式.

    垂直平分常見處理思路

    ①運用垂直平分線性質,邊相等建等式.

    ②垂直考慮直角處理思路,平分可考慮中點用法.如中點坐標公式,

    ③將垂直平分線看作折痕,利用折疊轉移條件.

    斜直角處理思路

    處理原則:斜轉直.

    通常在直角頂點所在處,構造相似模型(如三等角模型),借助相似建等式.

    三等角模型處理思路。

    /陳建華

    一四年三月二十六日

     

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